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研究动力系统的数学家通常关注吸引力规则

纪胜莺
导读研究动力系统的数学家通常关注吸引力规则。也就是说,起点的选择如何影响系统的终点?有些系统比其他系统更容易描述。例如,摆动的钟摆无论

研究动力系统的数学家通常关注吸引力规则。也就是说,起点的选择如何影响系统的终点?有些系统比其他系统更容易描述。例如,摆动的钟摆无论从哪里开始,都将始终落在最低点。

在动力系统研究中,“吸引力盆地”是所有起点的集合——通常彼此靠近——随着系统随着时间的推移而达到相同的最终状态。对于像摆锤这样简单的系统,盆的形状和大小是可以理解的。对于更复杂的系统来说并非如此:那些维度达到数十或数百甚至更高的系统可能具有带有分形边界的狂野几何。

事实上,根据物理学家和 SFI 施密特科学研究员张元昭和康奈尔大学数学家兼作家史蒂文·斯特罗加茨的新研究,它们可能看起来像章鱼的触手。这些高维盆地错综复杂的几何形状不容易可视化,但在发表在《物理评论快报》上的一篇新论文中,研究人员描述了一个简单的论点,说明为什么具有多个吸引子的系统中的盆地应该看起来像高维章鱼。他们通过分析一个简单的模型来论证他们的论点——一个振荡器环,尽管只在局部相互作用,但可以产生无数的集体状态,例如同相同步。大量耦合振荡器将有许多吸引子,因此有许多盆。

“当你有一个高维系统时,触手会主导盆地的大小,”张说。

重要的是,新工作表明,高维盆地的体积不能用超立方体正确近似,尽管它很诱人。那是因为超立方体未能包含盆地中绝大多数(超过 99%)的点,这些点串在触手上。

该论文还表明,高维盆地的主题充满了新的勘探潜力。“几何形状与我们所知的相去甚远,”Strogatz 说。“这与其说是关于我们发现的东西,不如说是提醒人们有很多东西有待发现。这是盆地勘探的早期阶段。”

这项工作也可能对现实世界产生影响。张将电网作为具有多个吸引力盆地的重要高维系统的一个例子。了解哪些起点会导致哪些结果可能有助于工程师弄清楚如何保持照明。

“根据您启动电网的方式,它会演变为正常运行状态或中断状态——比如停电,”张说。