互联网前沿信息:学会像埃及人那样数数

编辑:  来源:  2021-04-18 18:00:56

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上学期,我以巴比伦算术开始我的数学历史课程。我们正在做的数学是简单的乘法和加法,通过平方来解二次方程,但是60的基本系统和缺乏真正的零使得这些基本运算对我的学生来说具有挑战性。我很高兴,不同的系统稍微动摇了他们,并让他们思考的事情,我们认为理所当然,但一些学生似乎得出结论,巴比伦的数学是尴尬和愚蠢的。这门课花了很多时间来思考这两种体系之间的区别,但并没有花很多时间来思考巴比伦体系本身。作为孩子,我们花了几年时间学习如何做算术;用几天的时间来判断一个陌生的数字系统是不公平的。

戴维·雷默(David Reimer)的《像埃及人一样数数》(Count like a Egyptian)于2014年由普林斯顿大学出版社(Princeton University Press)出版,这本书巧妙地避开了这个陷阱。埃及的数字系统与我们的有一些深刻的不同,它不是作为一种杂耍或旅游景点。除了解释这些数字是如何写的以及基本的算术运算是如何进行的,雷默还分析了这些运算背后的逻辑,这些逻辑在我们看来是不寻常的。他把学习埃及数学比作学习一门新语言。“西班牙语很蠢,”在与一个不规则动词发生争执后,他对一名初中西班牙语老师说。不规则动词会使一门语言在外人看来很随意。但当然,英语有超过其公平份额的语言特质。母语为英语的人在被指出之前是不会注意到的。雷蒙写道,

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考虑分数。如果你读过一点关于埃及数学的东西,你会学到的第一件事是,除了2/3和偶尔的3/4,埃及人只使用分子上有1的分数:1/2、1/3、1/4,等等。他们会把其他的分数写成单位分数的和。例如,7/24可以写成1/4+1/24或1/6+1/8。(埃及人其实不用分子和分母来书写分数;如果唯一的分子是1,那么每次都写下来是多余的。相反,埃及分数由一个“口”符号盖在一个整数符号上组成。1/7就是1/7。要写出两个分数的和,只需在第一个分数后面加上第二个分数。

当我第一次读到埃及的分数时,我认为它们是笨拙和低效的。但是雷默指出它们和我们的十进制没有太大区别。当我们写0。572时,我们只是用一种稍微不同的方式写5/10+7/100+2/1000。这些分数的分母遵循一种可预测的模式,不像埃及的那种,但我们仍然把数字写成分数和,分母增加。关于十进制的一个好处是,如果我们在小数点后几位把数字去掉,我们就能很好地知道它有多大。0。572非常接近0。5和0。57。同样,在埃及分数体系中,7/24非常接近1/4,这是7/24的第一项。

埃及分数也比小数有一些优势。首先,它们总是会终止。我们甚至不能把1/3写成有限小数。在我们的分母上严格地坚持10的乘方限制了我们可以很容易代表的数字。和我们的分数一样,埃及分数是精确的,但是只使用有限的术语。雷默认为埃及分数是我们的分数和十进制之间的折衷。它们和分数一样精确,但是像小数一样,它们也使近似变得简单。

但是埃及的分数可以产生一些曲线球。并不是只有一种方法可以把数字写成埃及分数。例如,上面我写了7/24=1/4+1/24或1/6+1/8。在这种情况下,很明显1/4+1/24是更好的写法:1/4是很好的近似值,而1/6不是。但在其他情况下,情况就不那么清楚了。在书中,雷默给出了4/15的例子,它可以写成1/6+1/10或1/5+1/15。1/5是比1/6更好的近似值,但是选择1/6+1/10可能还有其他原因。埃及人在乘法时经常使用倍增法,而且偶数比奇数更容易计算。根据具体情况,1/6+1/10可能是更好的计算选择。这就是雷默所说的,当他说系统“鄙视死记硬背和死记硬背的算法,而它更喜欢洞察力和创造力。”在如何表示数字上有这么大的余地似乎很奇怪,但它表明,即使在简单的算术中,创造力也可以占有一席之地。

有了这样的见解,雷默不仅解释了埃及体系的逻辑,而且鼓励我们思考我们自己的数学技术的“是什么”、“如何”和“为什么”。“这本书是对现代数学的一种几乎不加掩饰的批判,”雷默写道。最后一章,审判日,是埃及人和现代方法之间的“战斗”,但它不仅仅是一个赢家和一个输家。“我们将考虑哪种制度更好,‘更好’到底是什么意思。你可能猜到了,这很复杂。

雷默在书中穿插了关于埃及神话和社会的小插图,他还包括一些关于现存的少数埃及数学工艺品的历史信息。(纸莎草纸通常不能很好地保存3000年。)当他的数学评论有来自埃及纸草的证据支持时,或者当它是基于他的数学直觉的推测时,他也说得很清楚。因为我对这本书感兴趣从数学的角度来看历史老师,我真希望有一点数学到底是什么在纸莎草,但是这本书不是一个学术历史的埃及数学和信息可能分心的使命让人们尝试埃及数学。

像埃及人那样数数,在许多不同层次的数学课堂上都是一个很好的补充。雷默在书的后面包括了课文中的问题和解决方案,这样读者就可以在阅读过程中练习技巧,准确地感受系统是如何工作的。数学是基础,足以帮助儿童学习分数或乘法第一次,但它也足够不同的方法,我们大多数人知道,成年人会得到很多。在本学期数学历史课的第一天,我使用埃及乘法和分数作为一种方法,让学生们走出他们的舒适区,让他们以一种新的方式思考一些最基本的数学构件。有了更多关于这个系统背后的基本原理的背景知识,我认为这是一种有效的方式,可以用一些有趣的讨论来打开课堂,讨论数字应该为我们做些什么。

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